Введение

Сланцевые породы обладают ярко выраженной «полярной» анизотропией, описываемой трансверсально-изотропной моделью VTI (рис. 1), которая задается пятью параметрами Томсена: ε, γ, δ, V_P0 и V_S0 [1], из них особое внимание уделяется здесь параметру δ.

Рисунок 1. В модели VTI ось z — это вертикальная (Vertical) ось симметрии трансверсально-изотропной среды, и поэтому среда VTI так и называется, т. е. Vertical Transverse Isotropy

Параметр δ — это единственный параметр Томсена, который определяется по данным отраженных P-волн напрямую (в отличие от ε), например по азимутальному скоростному анализу NMO [2, 3]. А именно, в результате азимутального анализа скоростей NMO получается карта направления трещиноватости, как это показано на рисунке 2 [4]. Кроме направления трещиноватости, азимутальный анализ скорости NMO дает параметр Томсена δ, как это показано на рисунке 3 [5, 6, 7]. Параметр δ выражает относительную разницу между квадратами минимальной и максимальной скоростей NMO:

$δ=\frac{(V_{min}^{NMO} )^2-(V_{max}^{NMO} )^2)}{2(V_{max}^{NMO} )^2 }$.            (1)

Рисунок 2. Распределение по площади направлений бόльшей полуоси NMO-эллипса эффективной скорости, вычисленной по горизонтам суходудинской свиты (СД₃). Размер стрелки соответствует величине параметра Томсена δ. Цветом показана структурная карта по горизонту СД₃ (Пеляткинская площадь). (Рисунок из работы [4], с разрешения авторов.)

Рисунок 3. Эллипс NMO. Вид сверху, в горизонтальной плоскости xy. Бόльшая полуось эллипса ориентирована по азимуту трещин (||) и равна наибόльшей скорости, $V_{max}^{NMO} ≡ V_||$. Меньшая полуось эллипса — по оси симметрии HTI-модели, перпендикулярно плоскости трещин (⊥ ), и равна наименьшей скорости, $V_{min}^{NMO} ≡ V_⊥$. Азимут α₀ — это искомый угол, определяющий азимут оси симметрии. Параметр δ выражает относительную разность минимальной и максимальной осей эллипса и/или скоростей NMO, V_max и V_min

Сначала рассмотрим собственную VTI-анизотропию сланцев (или же «полярную анизотропию»), которая характеризуется положительными параметрами Томсена ε и γ, т. е. они всегда больше нуля (ε > 0 и γ > 0) в сланцах (без вертикальной трещиноватости). С параметром Томсена δ не все так однозначно насчет его знака. Можно попытаться проанализировать величину и знак параметра δ: когда он положительный (δ > 0), а когда отрицательный (δ < 0). Например, согласно исследованиям [8], параметр δ всегда больше нуля в органических глинистых сланцах organic mudrocks, что показано на рисунке 4а.

Рисунок 4. а) Параметры анизотропии (ε, δ) по реальным данным измерений скоростей на образцах сланцев: данные из работы Vernik [9] (показаны точками). Линиями обозначены теоретические границы области допустимых значений параметра δ, верхняя δ_max и нижняя δ^LS. Верхняя граница определяется равенством δ_max = ε. Нижняя граница определяется как δ_min =  δ^LS , где δ^LS — это параметр δ в модели Linear Slip (LS) [8]. б) Область допустимых значений для δ (как функции от ε) в HTI-модели трещиноватой среды. (Оригинальный рисунок взят из работы Bakulin [10] и переделан на абсолютные величины |δ^(V)| и |ε^(V)| для удобного сравнения с положительными величинами ε и δ в среде VTI.) Заметим, что и δ^(V), и ε^(V) всегда отрицательные в среде HTI, тогда как в VTI-сланцах ε и δ положительные (по крайней мере на этом рисунке 4а)

В рамках модели VTI параметр δ может быть и отрицательным, например для водонасыщенных сланцев [11, 12]. Авторы статьи [13] обратили внимание на отрицательные значения δ для композита «вода — глина» (глина со связанной водой); отрицательные значения δ в глинистых сланцах, богатых смектитом, объясняются сильной способностью смектита связывать воду.

В настоящем исследовании мы покажем, что на величину параметра δ в сланцах может повлиять азимутальная анизотропия HTI из-за вертикальной трещиноватости и/или напряженного состояния геологической среды, как это показано на рисунке 5. В результате среда становится орторомбической [16]. И эта азимутальная анизотропия может радикально изменить величину параметров Томсена в сланцах (ε, γ, δ) и даже обратить их знак с плюса на минус. Простейшая анизотропная модель HTI описывает азимутально-анизотропную среду с параллельными вертикальными трещинами, «внедренными» в изотропную породу-матрицу, как это показано на рисунке 5. В противоположность параметру Томсена δ в модели VTI, в модели HTI параметр δ отрицательный, как и два других параметра анизотропии, ε и γ. Заметим, что для HTI-среды введено специальное обозначение для параметров анизотропии: ε^(V), γ^(V) и δ^(V) [10]. В рамках модели линейного проскальзывания, Linear Slip [17], авторы работы [10] исследовали область допустимых значений для δ^(V) (как функцию от ε^(V)), которая изображена на рисунке 4б; эту модель будем называть «эквивалентной моделью HTI», а для параметров Томсена ε^(V), γ^(V) и δ^(V) в HTI-среде будем использовать более удобные обозначения: ε^HTI, γ^HTI и δ^HTI.

Итак, под действием горизонтальных напряжений (и/или вертикальной трещиноватости) возникает азимутальная анизотропия типа HTI (рис. 5). Однако из-за собственной VTI-анизотропии сланцев мы будем уже иметь дело не с HTI-моделью, а с орторомбической (ORT) [16, 18], как это показано на рисунке 6.

Рисунок 5. а) Модель HTI. Под действием горизонтальных напряжений (которые обозначены красными стрелками) возникает азимутальная анизотропия, которую также можно обнаружить и по расщеплению поперечных волн, S1 и S2. (Первоначально рисунок взят из Крэмпина [14] и немного модифицирован Кашубиным и нами [15].) б) В модели HTI ось x — это ось симметрии среды HTI; направление трещин — по оси y; плоскость yz — это плоскость трещин. Плоскость xz называется плоскостью оси симметрии

Рисунок 6. Орторомбическая модель (ORT) для вертикально-трещиноватых сланцев. Параметры Томсена ε, γ и δ с индексом (1) (т. е. ε⁽¹⁾, δ⁽¹⁾, γ⁽¹⁾) определяются в плоскости yz (т. е. в плоскости [x₂, x₃] на этом рисунке), а ε⁽²⁾, δ⁽²⁾, γ⁽²⁾ — в плоскости xz (она же — [x₁, x₃])

Эта модель ORT может быть представлена как суперпозиция двух, VTI и HTI (т. е. ORT = VTI + HTI). В орторомбической модели 9 независимых параметров анизотропии, а именно: два эпсилона (ε⁽¹⁾, ε⁽²⁾), две гаммы (γ⁽¹⁾, γ⁽²⁾), три дельты (δ⁽¹⁾, δ⁽²⁾, δ⁽³⁾) и две вертикальные скорости V_P0 и V_S0.

Рассмотрим смысл формулы сложения ORT = VTI + HTI в применении ее к параметру Томсена δ⁽²⁾, который измеряется в плоскости xz (как это показано на рисунке 6) и который как раз несет информацию о вертикальных трещинах и/или напряженном состоянии среды. Плоскость xz — это так называемая плоскость оси симметрии среды HTI, причем эта горизонтальная ось (x) симметрии HTI-среды совпадает с нормалью (x) к плоскости (yz) вертикальных трещин, как это показано на рисунке 5б [10]. Мы покажем, что результирующий параметр δ⁽²⁾ в ORT-среде будет по величине приближаться к δ^HTI (имеющему большое отрицательное значение). Это можно объяснить, используя «мнемоническую формулу сложения» ORT = VTI + HTI, т. е.

$δ_{теор.}^{(2)}=δ^{VTI}+δ^{HTI}$,            (2)

причем $δ^{VTI}=δ_{теор.}^{(1)}$. В этой формуле сложения δ^VTI — это параметр анизотропии Томсена δ в трансверсально-изотропной VTI-породе, являющейся анизотропной моделью сланцевой породы (без трещин). Второе слагаемое δ^HTI в формуле (2) — это большой отрицательный параметр анизотропии (δ^(V)) в эквивалентной HTI-среде (δ^HTI < 0). Эквивалентной называется такая HTI-среда, в которой трещины такие же, как и в ORT-среде, но они внедрены в изотропную породу-матрицу, в отличие от трещин в ORT-среде: в последней порода-матрица VTI-анизотропная. Если сравнить |δ^HTI| с δ^VTI на рисунке 4, то становится понятно, что магнитуда азимутальной HTI-анизотропии (представленная параметром |δ^HTI|) оказывается больше магнитуды VTI-анизотропии сланцев (параметр δ^VTI). И поэтому в формуле сложения (уравнение (2)) результирующая величина δ⁽²⁾ в орторомбической среде (и ее знак минус в том числе) определяется в основном вторым (отрицательным) слагаемым δ^HTI, а не первым (δ^VTI). По данным физического и численного моделирования мы покажем, что полученная по формуле (2) величина $δ_{теор.}^{(2)}$ практически совпадает с настоящим параметром δ⁽²⁾. Однако аналогичная формула сложения ORT = VTI + HTI в применении ее к ε⁽²⁾ и γ⁽²⁾ оказывается неточной.

Орторомбическая модель

Мы изучаем анизотропию вертикально-трещиноватых сланцев, используя данные физического моделирования орторомбической модели [19]. Мы применяем математическую модель «линейного проскальзывания» (Linear Slip model) для орторомбической среды [16], которую мы коротко называем моделью ORT. В модели ORT имеется только 8 независимых параметров: 5 компонент $C_{ij}^{VTI}$} тензора упругости VTI и 3 параметра трещиноватости (Δ_N, Δ_V и Δ_H), через которые выражаются 9 компонент $C_{ij}^{ORT}$} тензора упругости орторомбической среды. Таким образом, модель ORT — это особый случай орторомбической среды. Орторомбический тензор упругости {$C_{ij}^{ORT}$} для вертикально трещиноватых сланцев (модель ORT) определяется следующей симметричной матрицей [16, 20]:

 .            (3)

В уравнении (3) введены следующие сокращенные обозначения: $h=\frac{(C_{13}^{VTI})^2}{C_11^{VTI} C_33^{VTI }}$ и $G=\frac{C_{12}^{VTI}}{C_11^{VTI}}$.

В эксперименте было пять образцов породы (с искусственными трещинами) орторомбической системы симметрии, отличающихся друг от друга концентрацией трещин [19, 21]. Вертикальные прямоугольные трещины квадратной формы были встроены в тонкослоистую породу-матрицу (последняя послужила нам как VTI-модель сланцевой породы), см. фотографию искусственных образцов трещиноватой породы на рисунке 7. Кроме этих пяти орторомбических образцов, был шестой, эталонный образец (модель VTI), выполненный из того же тонкослоистого материала; этот искусственный тонкослоистый образец VTI имитирует сланцеватую породу. Скорости P- и S-волн измерялись при углах падения 0° и 90°, и таким образом мы получили параметры Томсена ε и γ в плоскостях (xz) и (yz) соответственно:

$ε^{(2)} =\frac{C_11^{ORT}-C_33^{ORT}}{2 C_33^{ORT}}$;     ${𝜀}^{(1)}=\frac{{𝐶}_{22}^{𝑂𝑅𝑇}-{𝐶}_{33}^{𝑂𝑅𝑇}}{2{𝐶}_{33}^{𝑂𝑅𝑇}}$;            (4)

$γ^{(2)}=\frac{C_66^{ORT}-C_44^{ORT}}{2C_44^{ORT}}$;     $γ^{(1)}=\frac{C_66^{ORT}-C_55^{ORT}}{2C_55^{ORT}}$.            (5)

Рисунок 7. Физическое моделирование орторомбической модели для вертикально-трещиноватых сланцев. Пять образцов породы Ortho-i (i = 1, 2, …, 5) с искусственными вертикальными трещинами в тонкослоистом фундаменте. Дополнительно для сравнения использовался эталонный тонкослоистый образец REF, без трещин, имитирующий сланцевую породу-фундамент VTI. (Рисунок — из работы [19], с разрешения авторов.)

Для оценки параметра Томсена δ в орторомбической породе (а вернее — всех трех δ-параметров δ⁽¹⁾, δ⁽²⁾ и δ⁽³⁾  в плоскостях (yz), (xz) и (xy) соответственно) нам не хватало дополнительных измерений скорости V_P45 при угле падения 45° (например, [22]). Мы разработали способ определения δ-параметров по имеющимся данным, используя уравнение (3) для матрицы {$C_{ij}^{ORT}$},  по которому мы вычислили Δ_N, Δ_V и Δ_H  [21].

В этом исследовании мы покажем, что величина параметров Томсена (т. е. ε, γ, δ) в вертикально трещиноватых сланцах сильно зависит от азимутальной анизотропии, возникающей из-за напряженного состояния земной коры и/или из-за наличия параллельных вертикальных трещин, в результате чего сланцы становятся орторомбическими. Эта азимутальная анизотропия может радикально изменить величину параметров Томсена и даже изменить их знак с положительного на отрицательный. Орторомбическая модель трещиноватых сланцев (ORT) может быть представлена ​​как суперпозиция двух трансверсально-изотропных моделей, VTI и HTI; по принципу ORT = VTI + HTI (например, [21]). В модели ORT параллельные вертикальные трещины вызывают азимутальную анизотропию; этот эффект описывается «эквивалентной» моделью HTI [10, 18]. Однако помимо этой «наведенной» азимутальной анизотропии HTI, в рассматриваемой модели ORT также учитывается влияние собственной полярной анизотропии сланцев VTI, за счет их тонкослоистой микроструктуры [16].

В нашем физическом моделировании [19] измерялись скорости продольных волн (P) и двух поперечных (SV и SH) только на вертикальном и горизонтальном направлениях. Однако чтобы найти δ⁽¹⁾ и δ⁽²⁾, необходимо иметь хотя бы одно измерение скорости V_P45 (под углом 45°), по которому можно было бы вычислить недиагональные компоненты тензора $C_23^{ORT}$ и $C_13^{ORT}$. То есть для получения параметра Томсена δ⁽²⁾ напрямую, согласно его определению (в плоскости xz), необходимо знать величину $C_13^{ORT}$, а именно:

${\delta }^{(2)}=\frac{{(C_{13}^{ORT}+C_{55}^{ORT})}^2-{(C_{33}^{ORT}-C_{55}^{ORT})}^2}{2C_{33}^{ORT}(C_{33}^{ORT}-C_{55}^{ORT})}$.            (6)

Аналогично формула для параметра δ⁽¹⁾ (согласно его определению, в плоскости xz орторомбической  среды)  включает в себя компоненту тензора упругости $C_23^{ORT}$:

$δ^{(1)}=\frac{{(C_23^{ORT}+C_44^{ORT})}^2-{(C_33^{ORT}-C_44^{ORT})}^2}{2C_33^{ORT}-{(C_33^{ORT}-C_44^{ORT})}}$.            (7)

Несмотря на отсутствие измерений скоростей на «косых» лучах (например, V_P45 под углом 45°), мы полностью реконструировали орторомбический тензор упругости $C_{ij}^{ORT}$}, как это показано на рисунке 8а и в таблице 1. Для этого мы использовали математическую модель «линейного проскальзывания» [16], вычислив по формуле (3) все три ослабленности трещин, Δ_N, Δ_V и Δ_H, которые показаны на рисунке 8б и в таблице 2. Δ_N — это нормальная ослабленность трещин согласно терминологии Бакулина с соавторами [10], или же «податливость трещин» (последний термин используется, например, в работе Томсена и Сайерса [20]). Зная Δ_N, мы вычисляем $C_13^{ORT}$, $C_23^{ORT}$ и $C_12^{ORT}$ по формуле (3) для тензора упругости орторомбической среды {$C_{ij}^{ORT}$}. В дополнение к нормальной ослабленности Δ_N  мы также вычисляем две поперечные ослабленности Δ_V и Δ_H по следующим формулам:

$Δ_N=1-\frac{С_11^{ORT}}{С_11^{VTI}}$,     $Δ_V=1-\frac{С_55^{ORT}}{С_55^{VTI}}$,     $Δ_H=1-\frac{С_66^{ORT}}{С_66^{VTI}}$.            (8)

Поперечные ослабленности Δ_V и Δ_H  оказались практически равными друг другу, как это можно заметить на рисунке 8б, и поэтому мы заменили их одной величиной Δ_T (т. e. Δ_V ≈ Δ_H = Δ_T), где Δ_T — среднее арифметическое от Δ_V и Δ_H. Все эти величины (безразмерные): Δ_N, Δ_V, Δ_H и Δ_T — показаны в таблице 2.

Рисунок 8. а) Нормированные компоненты тензора упругости {$C_{𝑖𝑗}^{𝑂𝑅𝑇}$} для орторомбической породы (с единичной плотностью и пересчитанные в соответствующие скорости волн {$𝑉_{𝑖𝑗}^{𝑂𝑅𝑇}$}, м/с), полученные в эксперименте для шести образцов, с различными концентрациями трещин, включая нулевую концентрацию, которая соответствует эталонному образцу VTI (т. е. сланец без трещин). б) Нормальная ослабленность  Δ_N  и две поперечные ослабленности, Δ_V и Δ_H (соответственно вертикальная и горизонтальная)

Таблица 1. Компоненты тензора упругости {$C_{ij}^{ORT}$} для орторомбической породы ORT (нормированные, с единичной плотностью), пересчитанные в соответствующие скорости волн {$V_{ij}^{ORT}$}, м/с

Таблица 2. Ослабленности трещин  Δ_N, Δ_V, Δ_H и Δ_T  (т. е. Δ_T = (Δ_V + Δ_H)/2)

Заметим, что для эталонного образца VTI (сланец без вертикальных трещин) мы тоже восстановили тензор упругости {$C_{ij}^{VTI}$}, включая его недостающую недиагональную компоненту $C_{13}^{VTI}$ (что показано на рисунке 8а и в таблице 1 при нулевой концентрации трещин; для этого мы использовали формулы для $C_{13}^{VTI}$ в органических глинистых сланцах (organic mudrocks [8]).

Параметры Томсена ε и γ в орторомбической среде. Формула сложения ORT = VTI + HTI

Можно образно представить себе, что наша модель ORT для вертикально-трещиноватых сланцев построена по принципу ORT = VTI + HTI, где HTI означает «эквивалентная модель HTI» для трещиноватой среды, а VTI — это трансверсально-изотропная модель (с вертикальной осью симметрии) для тонкослоистой породы, такой как сланцы, представляющей фундамент породы ORT [18]. Простыми словами принцип сложения состоит в том, что порода ОRT представлена как совокупность двух элементов: трансверсально-изотропной породы-фундамента (модель VTI) и системы трещин (HTI). Вопрос состоит в том, можно ли использовать эту мнемоническую формулу сложения ORT = VTI + HTI для вычисления параметров Томсена в орторомбической среде, то есть

${\epsilon }^{(2)}\approx {\epsilon }^{VTI}+{\epsilon }^{HTI}$,     $γ^{(2)}≈ γ^{VTI}+γ^{HTI}$.            (9)

Бакулин с соавторами [18] предлагают использовать эти формулы сложения (9), которые в их обозначениях имеют следующий вид:

$ε^{(2)}≈ε_b +ε^{(V)}$,     $γ^{(2)}≈γ_b +γ^{(V)}$,            (10)

где ε_b и γ_b — это параметры Томсена ε и γ в сланцах (без трещин), выражающие их собственную полярную анизоторопию VTI, а ε^(V) и γ^(V) — это параметры Томсена ε и γ для среды HTI, являющейся «эквивалентной» трансверсально-изотропной моделью породы с ориентированной вертикальной трещиноватостью (например, [10]). Мы будем применять наши обозначения VTI и HTI (в качестве верхних индексов) для параметров Томсена ε, γ и δ соответственно в VTI-среде и HTI-среде: ε^VTI≡ε_b, γ^VTI≡γ_b, ε^HTI≡ ε^(V) и γ^HTI≡ γ^(V).

Таким образом, параметры Томсена ε^VTI и γ^VTI в сланцах (без трещин) выражают математически их собственную полярную анизотропию VTI и задаются следующими формулами согласно определению Томсена [1]:

$ε^{VTI}=\frac{C_11^{VTI}-C_33^{VTI}}{2C_33^{VTI}}$,     $γ^{VTI}=\frac{C_66^{VTI}-C_44^{VTI}}{2C_44^{VTI}}$.            (11)${}^{}$

Компоненты VTI-тензора упругости {$C _{ij}^{VTI }$} даны в таблице 1 и на рисунке 8 при нулевой концентрации трещин. Полученные параметры Томсена ε^VTI и γ^VTI показаны на рисунке 9. Как известно [18], параметры Томсена ε⁽¹⁾ и γ⁽¹⁾ (измеряемые в вертикальной плоскости yz орторомбической среды ORT) можно приравнять к ε^VTI и γ^VTI соответственно, что cхематически показано на рисунке 9, а именно:

$ε^{(1)}≈ ε^{VTI}$,     $γ^{(1)}=γ^{VTI}$.            (12)

Рисунок 9. a) Параметры Томсена ε, γ и δ для «эквивалентной» трещиноватой породы HTI (ε^HTI, γ^HTI и δ^HTI) и в VTI-породе, представляющей собственную анизотропию сланцев (без трещин) (ε^VTI, γ^VTI и δ^VTI). б) Параметры Томсена ε, γ и δ в орторомбической модели для вертикально-трещиноватых сланцев: ε⁽¹⁾, γ⁽¹⁾ и δ⁽¹⁾ в вертикальной плоскости yz (плоскость трещин) и ε⁽²⁾, γ⁽²⁾ и δ⁽²⁾ в вертикальной плоскости xz (плоскость оси (x) симметрии). Обозначения в фигурных скобках помогают понять взаимное соответствие параметров Томсена в разных моделях (VTI, HTI и ORT), выражаемое уравнениями (9–12)

Эквивалентная среда HTI. Параметры Томсена ε^HTI и γ^HTI для «эквивалентной среды HTI» (являющейся трансверсально-изотропной моделью Linear Slip породы с теми же ослабленностями трещин  Δ_N и Δ_T , что и в модели ORT) определяются следующим образом (например, [10]):

$ε^{HTI}=\frac{C_11^{HTI}-C_33^{HTI}}{2C_33^{HTI}}$;     $γ^{HTI}=\frac{C_66^{HTI}-C_44^{HTI}}{2C_44^{HTI}}$,            (13)

где {$C _{ij}^{ HTI}$} — это компоненты тензора упругости эквивалентной среды HTI, которые даны в таблице 3 и на рисунке 10. Как известно [10], в общем случае трансверсально-изотропная среда (HTI и VTI) задается пятью независимыми компонентами тензора упругости {$C_11^{HTI}, C_33^{HTI}, C_44^{HTI}, C_66^{HTI}, C_13^{HTI}$}, причем $C_22^{HTI} = C_33^{HTI}$, $C_55^{HTI} = C_66^{HTI}$, $C_12^{HTI} = C_13^{HTI}$ и $C_23^{HTI}= C_33^{HTI} - 2C_44^{HTI}$.

 В эквивалентной HTI-модели Linear Slip [23], которую мы здесь используем, пятая компонента $C _{13}^{ HTI}$ теряет свою независимость, что следует из условия-ограничения на компоненту $C _{13}^{ HTI}$ для HTI-модели Linear Slip: $C_11^{HTI} C_33^{HTI}-(C_13^{HTI} )^2 = 2C_44^{HTI} (C_11^{HTI}+C_13^{HTI} )$ [10]. Отсюда мы вывели следующую формулу для параметра Томсена δ^HTI в HTI-среде:

$δ^{HTI}=\frac{1}{(1-g-2gγ)} [2gγ\sqrt{(2ε(1-2g)+(1-g)^2 })+2g(1-g)γ+(1-2g)ε]$,            (14)

где $g=C_44^{HTI}/C_33^{HTI}$ и $C_44^{HTI}=ρV_{S0}^2$, $C_33^{HTI}=ρV_{P0}^2$.

Таблица 3. Нормированные компоненты тензора упругости $C _{ij}^{HTI}$} для «эквивалентной» породы HTI, пересчитанные в соответствующие скорости волн $V_{ij}^{ORT}$}, м/с

Рисунок 10. Компоненты тензора упругости {$C _{ij}^{HTI}$} для «эквивалентной» трещиноватой породы HTI (нормированные на единичную плотность), пересчитанные в соответствующие скорости волн {$V _{ij}^{HTI}$} (размерность м/с), для шести различных концентраций трещин (включая нулевую концентрацию трещин, которая соответствует изотропной породе-фундаменту). При нулевой концентрации трещин среда HTI превращается в изотропную

Истинные (или же точные) параметры Томсена в орторомбической среде. Как оказалось, аппроксимация для ε⁽²⁾ и γ⁽²⁾ в виде формулы сложения ORT = VTI + HTI (уравнения (9–10)) имеет довольно большое отклонение от истинных ε⁽²⁾ и γ⁽²⁾, что будет подробно разобрано ниже. Здесь надо пояснить, что именно мы принимаем за истинный (или же точный) параметр Томсена. Объясним это на примере параметра Томсена ε⁽²⁾. Истинный ε⁽²⁾ можно выразить через ε^VTI и Δ_N, если в формулу-определение Томсена, $ε^{(2)}=(C_11^{ORT}-C_33^{ORT})⁄(2C_33^{ORT})$, подставить выражения для соответствующих компонет тензора упругости, $C_11^{ORT}=C_11^{VTI} [1-Δ_N]$ и $C_33^{ORT}=C_33^{VTI} [1-Δ_N h]$ (уравнение (3)). Численные значения компонент тензоров упругости {$C _{ij}^{ORT}$}, {$C _{ij}^{VTI}$} и ослабленности трещин Δ_N даны в таблице 1 и таблице 2. Аналитическая формула для истинного ε⁽²⁾ получается слишком длинная, поэтому здесь не приводится. В результате получаем (численно) истинный параметр ε⁽²⁾, который показан на рисунке 11 красными сплошными треугольниками, т. е. пять значений ε⁽²⁾ для пяти образцов пород с разными концентрациями трещин; причем шестое значение (оно же первое) при нулевой концентрации трещин соответствует ε^VTI.

Рисунок 11. а) Параметры Томсена ε⁽²⁾ и ε⁽¹⁾ в орторомбической (ORT) модели. T&S — это результат по формулам Томсена — Сайерса [20], уравнения (15) и (18) соответственно для ε⁽²⁾ и ε⁽¹⁾. б) Параметр Томсена ε⁽²⁾. Сплошные красные треугольники ▲ — это истинный ε⁽²⁾. Пустые красные треугольники Δ — это формула сложения ε^VTI+ε^HTI,  уравнение (17). Красными крестиками + показана аппроксимация Томсена — Сайерса (T&S), уравнение (15). Черными пустыми квадратиками □ показана новая формула (16) (ε⁽²⁾_Новый ). Серые пустые точки ◦ и серая линия — наша модифицированная формула (18) (ε⁽²⁾_Модиф.)

Поскольку полученные аналитические формулы для истинных ε⁽²⁾ и γ⁽²⁾ слишком громоздкие, возникает идея заменить их какими-то укороченными понятными приближёнными формулами, которые бы несильно расходились с истинными параметрами Томсена. Ниже мы рассмотрим аппроксимации Томсена — Сайерса [20] и другие приближённые формулы, а также сравним их с формулой сложения ORT = VTI + HTI.

Приближённые формулы для ε⁽²⁾

Воспользуемся формулой Томсена — Сайерса [20] для ε⁽²⁾:

$ε^{(2)}≈ε^{VTI}(1+Δ_N h)+\frac{Δ_N}{2} [h-\frac{C_11^{VTI}}{C_33^{VTI}}]$,             (15)

где $h=(C_13^{VTI})^2⁄(C_11^{VTI} C_33^{VTI})$. На рисунке 11 показан результат расчета ε⁽²⁾ по этой приближённой формуле (15); оказалось, что среднее отклонение от истинного ε⁽²⁾ совсем небольшое, всего 3,2 %. Мы немного улучшили эту формулу, пренебрегая в ней членом ε^VTI Δ _N h, и получили:

$ε^{(2)}≈ε^{VTI}+\frac{Δ_N}{2} [h-\frac{C_11^{VTI}}{C_33^{VTI}}]$.            (16)

Эта улучшенная и более компактная формула дает среднюю ошибку в определении ε⁽²⁾ всего 2,1 %; повышение точности новой формулы (16) (по сравнению с уравнением (15)) можно заметить на рисунке 11 (график помечен черными пустыми квадратиками).

Предположим, что формулу для ε⁽²⁾ можно упростить еще больше, заменив в уравнении (16) второе слагаемое (т. е. $\frac{Δ_N}{2} [h-\frac{C_11^{VTI}}{C_33^{VTI}}]$) на ε^HTI; в результате получим:

$ε^{(2)}≈ε^{VTI}+ε^{HTI}$,            (17)

где $ε^{HTI}=-2g(1-g) Δ_N$,            (18)

${}^{}$и где $g=μ⁄(λ+2μ)$, а λ и μ — это модули Ламе в изотропной среде, «ближайшей к HTI» [18]. Таким образом, получилась формула сложения ORT = VTI + HTI для ε⁽²⁾, уравнение (17). Однако такое сильное упрощение формулы для ε⁽²⁾ приводит к большой ошибке 19,3 %, что уже выходит за пределы допустимого порога точности, как это видно на рисунке 11. Чтобы как-то еще упростить формулу для ε⁽²⁾ (в частности, второе слагаемое $\frac{Δ_N}{2} [h-\frac{C_11^{VTI}}{C_33^{VTI}}]$ в уравнении (16)), мы попробовали немного модифицировать ее, и получилась следующая приближённая формула:

$ε^{(2)}≈ε^{VTI}-\frac{Δ_N}{2} \frac{C_11^{VTI}}{C_33^{VTI}}=ε^{VTI} (1-Δ_N )-\frac{Δ_N}{2}$;            (19)

она дает довольно хорошую точность (график с пометкой «Модиф.» на рисунке 11) с относительной погрешностью 5,8 %; но эта погрешность все же больше, чем у формулы (16) («Новый» на рисунке 11).

Приближённые формулы для ε⁽¹⁾

Рассмотрим следующую приближённую формулу для ε⁽¹⁾ [20]:

$ε^{(1)}≈ε^{VTI}(1+Δ_NH)+\frac{Δ_N}{2} [h-G^2\frac{C_11^{VTI}}{C_33^{VTI}}]$,            (20)

где $G=C_12^{VTI}/C_11^{VTI}$. На рисунке 11 показан результат вычисления ε⁽¹⁾ по формуле (20) Томсена — Сайерса; график ε⁽¹⁾ обозначен T&S, и он просто совпадает с истинным ε⁽¹⁾, т. е. среднее отклонение T&S от истинного ε⁽¹⁾ составляет всего 0,03 %. Однако формула (20) выглядит слишком длинной, и в ней не виден ее «физический смысл», поэтому взамен нее рассмотрим совсем короткую аппроксимацию

$ε^{(1)}≈ε^{VTI}$,            (21)

которую предложили авторы статьи [18] и которая в их обозначениях имеет вид: ε⁽¹⁾ ≈ ε_b. Эта короткая формула (21) получается из уравнения (20) в предположении о слабой VTI-анизотропии сланцев, т. е. тогда получается, что: $G≈\frac{λ}{λ+2μ}$, $G^2\frac{C_11^{VTI}}{C_33^{VTI}} ≈\frac{λ^2}{(λ+2μ)^2}$ и $[h-G^2\frac{C_11^{VTI}}{C_33^{VTI}}]→0$.